Видео урок: Математическа индукция

Опита ли да я направиш тази, Милена? Хайде заедно да я решим. До къде стигна?

как се решава ?

Хайде и аз да се включа в обясняването, ако нямате нищо против. :) Математическата индукция, най-общо казано, е метод за доказване на твърдения, свързани по някакъв начин с естествени числа. Тя се базира на аксиомата(твърдение, което приемаме за очевидно вярно) на Пеано, която пък гласи следното: Ако една съвкупност от естествени числа съдържа числото 1 и притежава свойството, че ако съдържа някое естествено число, то съдържа и следващото след него, то тази съвкупност съдържа всичките естествени числа. Ясно е, нали? Щом съдържа числото 1, то от свойството следва, че съдържа и числото 2, от там и 3, после 4 и т.н. Та за конкретната задача. Заместваме на мястото на n в лявата и дясната страни с 1. Получаваме 1.2.3=(1.2.3.4):4, което е очевидно вярно. Това е така наречената база на индукцията. Първият етап от метода на математическата индукция. Тук ще отбележа, че в някои задачи се изисква започване не от 1, а от някакво друго естествено число. Това не променя същността на нещата.

Продължение: Просто доказваме твърдението за всички естествени числа от някъде нататък. Връщаме се към конкретната задача. Следващата ни работа е да направим така наречената индукционна стъпка. Допускаме, че твърдението е вярно за n=k и го доказваме за n=k+1, т.е допускаме, че 1.2.3+2.3.4+3.4.5+............+k(k+1)(k+2)=[k(k+1)(k+2)(k+3)]:4, а с негова помощ(това е много важно!) ще докажем, че 1.2.3+2.3.4+3.4.5+............+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]:4. Използваме допускането и достигаме до [k(k+1)(k+2)(k+3)]:4+(k+1)(k+2)(k+3)=[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]:4 Остава да умножим двете страни на равенството по 4 и след това да съкратим на (k+1)(k+2)(k+3). Това е!

За край ще ви разкрия къде се крие силата на математическата индукция! Работата е там, че при нея с допускането във втория етап ние всъщност разполагаме вече с всички свойства на нещо, което още не знаем дали е вярно и така успяваме да го докажем! Да отбележа още, че методът на математическата индукция служи за доказването на предположения, които по някакъв начин трябва да направим, или да намерим някъде. :)