Упражнение: Математическа индукция


Описание на упражнението

В онлайн упражнението към видео урока "Математическа индукция" по математика за 11. клас ще имате възможност да се пробвате какво сте научили за математическата индукция: за какво се използва този метод, кои са етапите при доказване на твърдения. Ще се упражните да ги прилагате при решаване на задачи, а ако имате пропуски ще ги запълните и това ще ви помогне да изкарвате шестици в училище. Решавайте и се забавлявайте!

За да разбереш как да направиш упражнението,
регистрирай се в Уча.се:


Въпроси: Общ брой точки: 100
5т. 1. Ако сме сигурни, че Иван е скейтър, наблюдаваме сходни признаци на поведение у Пешо, Гошо, Краси, Наско и Митко от бандата, то можем да заключим, че всички от бандата са скейтъри.
  • Примерът в математиката се нарича:
 
5т. 2. Първият етап при доказване на равенството \frac11.3+\frac13.5+\frac15.7+...+\frac1\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n+1 \right )=\fracn2n+1  чрез метода на математическата индукция е да проверим верността при n=2, т.е:
  • \frac11.3+\frac13.5=\frac22.2+1
  • Вярно ли е предложеното решение?
5т. 3. Да се докаже, че за всяко естествено n е изпълнено равенството:
  • \frac11.3+\frac13.5+\frac15.7+...+\frac1\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n+1 \right )=\fracn2n+1
  • Допускаме, че равенството е вярно при n=k. Кой от изразите се получава?
5т. 4. При решаване на задачата Да се докаже, че за всяко естествено n е изпълнено равенството \frac11.3+\frac13.5+\frac15.7+...+\frac1\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n+1 \right )=\fracn2n+1  чрез математическа индукция, учителката предлага следния начин в етап 3:
  • За да проверим, че твърдението е вярно и за n=k+1, трябва да докажем тъждеството:
  • \frac11.3+\frac13.5+\frac15.7+...+\frac1\left ( 2k-1 \right ).\left ( 2k+1 \right )+\frac1\left ( 2k+1 \right ).\left ( 2k+3 \right )=\frack+12k+3
  • Вярно ли е предложеното решение?
5т. 5. Да се докаже, че за всяко естествено n е изпълнено равенството:
  • \frac11.3+\frac13.5+\frac15.7+...+\frac1\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n+1 \right )=\fracn2n+1.
  • Ако твърдението е вярно за n=k+1, то в края на проверката трябва да получим кое от равенствата?
 
6т. 6. Като успеем да докажем, че 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left [ \fracn\left ( n+1 \right )2 \right ]^2 е равно за к+1, то това означава, че и това, което сме допуснали за к е правилно. От това пък следва, че твърдението е вярно за всички естествени числа.
  • Вярно ли е горното твърдение?
6т. 7. Какво заместване трябва да извършим в първи етап, когато доказваме тъждеството 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left [ \fracn\left ( n+1 \right )2 \right ]^2чрез метода на математическата индукция?
6т. 8. Кой от изразите се получава при етапа за допускане в доказване на твърдението 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left [ \fracn\left ( n+1 \right )2 \right ]^2?
6т. 9. Подредете последователно редовете при доказване, че твърдението 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left [ \fracn\left ( n+1 \right )2 \right ]^2 е вярно за n=k+1, като най-горе поставите първия ред от доказателството.
6т. 10. Какви замествания се извършват при доказване с метода на математическата индукция на твърдението:
  • За всяко естествено число n е изпълнено \frac11.2.3+\frac12.3.4+\frac13.4.5+...+\frac1n.(n+1).(n+2)=\fracn(n+3)4(n+1)(n+2)?
6т. 11. Подредете етапите при доказване на твърдението, че за всяко естествено число n е изпълнено 1.4+2.7+3.10+...+n.(3n+1)=\frac4n.\left ( 1+2+3+...+n \right )^2.
  • Първия етап поставете най-горе.
6т. 12. За всяко естествено число е вярно равенството:
  • \left ( 1+\frac11 \right )+\left ( 1+\frac12 \right )+\left ( 1+\frac13 \right )+...+\left ( 1+\frac1n \right )=n+2.
  • Вярно ли е твърдението?
11т. 13. Пеньо решава домашната си работа по математика. Трябва да провери дали за всяко естествено число n е изпълнено твърдението, че 2n+1 е четно число. В тетрадката на Пеньо е написано решение.
  • Погледнете картинката с решението и кажете каква грешка е допуснал Пеньо?
11т. 14. Равнината е разделена с n прави на области. Ще казваме, че две области са съседни, ако имат обща отсечка или права. Едни от областите са оцветени в червено, а други - в синьо. Да се докаже, че равнината може да се оцвети така, че всеки две съседни области да са оцветени различно.
  • Подредете елементите на доказателството чрез математическа индукция, като първи етап поставите най-горе.
11т. 15. На колко части се разделя равнината от n различни прави, прекарани през една и съща точка?
  • Упътване: Проверете твърдението за n=1,2,3,... . Изкажете предположение и го докажете чрез математическа индукция.

За да направиш упражнението, регистрирай се в Уча.се:

Коментирай

За да коментираш това упражнение, стани част от образователен сайт №1 на България!