Учи с уроците на разбираем и интересен език!

Тест: Математическа индукция. Решаване на задачи - част 2

Видео урок

Тест

За да разбереш как да направиш теста, регистрирай се в Уча.се!

Регистрирай се Регистриран си? Влез в профила си »

Въпросите, които ще видиш в теста:

Докажете, че за всяко естествено число $n, n\geqslant 5$ е изпълнено неравенството $2^n> 3n+16$ .

В кой от случаите базовата проверка е правилно направена?

Докажете, че за всяко естествено число n, $n\geqslant 5$ е изпълнено неравенството $2^n> 3n+16$ .

Допускаме, че неравенството е вярно за n=k, т.е. $2^k> 3k+16$ . Правилно ли е допускането?

Докажете, че за всяко естествено число n, $n\geqslant 5$ е изпълнено неравенството $2^n> 3n+16$ . Посочете вярното заместване при n=k+1.

Докажете, че за всяко естествено число n, $n\geqslant 5$ е изпълнено неравенството $2^n> 3n+16$ . Кое е вярното доказателство при n=k+1?

Да се докаже, че за всяко естествено n, $11^n+2 + 12^2n+1$ се дели на 133. Вижте решението и отбележете верни ли са разсъжденията.

1. При n = 1, $11^1+2 + 12^2+1 = 11^3 + 12^3 = 3059 = 133.23$
2. Нека при n = k; $11^k+2 + 12^2k+1 = 133p$ (p e цяло).
3. Тогава при n = k + 1 имаме: $11^k+1+2 + 12^2(k+1)+1 = 11^k+3 + 12^212^2k+1 = 11(11^k+2 + 12^2k+1) + 133.12^2k+1 = 11.133p + 133.12^2k+1 = 133(11p + 12^2k+1)$
4. Доказахме, че ако при n = k даденият израз се дели на 133, то налице е същото и при n = k + 1. Тъй като при n = 1 той се дели на 133, съгласно принципа на математическата индукция, той се дели на 133 за всяко естествено n.

Докажете, че за $n>4$ е изпълнено неравенството $2^n>n^2$ . Подредете етапите за доказване на твърдението, като най-отгоре поставите първи етап.

Иван трябва да реши задачата: "Докажете, че за n>4 е изпълнено неравенството $2^n>n^2$ ." Той прави следните пресмятания:

Трябва да докажем, че $2^k+1>2(k+1)^2$ , за което е достатъчно да докажем неравенството $2k^2\geq (k+1)^2.$
$2k^2\geq (k+1)^2\Leftrightarrow k^2-2k-1\geq 0$
Корените на квадратния тричлен са $k1,2=1\pm \sqrt2$ и при $k\geq 1+ \sqrt2$ е изпълнено $k^2-2k-1\geq 0$ . Следователно $2^k+1>2(k+1)^2$

Верни ли са разсъжденията на Иван?

Да се докаже, че $2^n+2.3^n + 5n - 4$ се дели на 25. Решение:

Проверяваме за n=1, $2^1+2.3^1 + 5.1 - 4=8.3+5-4=25$ се дели на 25.
Допускаме, че твърдението е вярно за n=k, т.е. $2^k+2.3^k + 5k - 4$ се дели на 25.
Доказваме, че твърдението е вярно за n=k+1, т.е. трябва да е вярно, че $2^k+1+2.3^k+1 + 5(k+1) - 4$ се дели на 25.
Къде е грешката при така записаното решение?

За да докажем, че $2^k+1+2.3^k+1 + 5(k+1) - 4$ се дели на 25, трябва да го представим като събираеми, които се делят на 25.

Вярно ли е разсъждението?

Подредете етапите на доказване чрез математическа индукция на твърдението: $2^k+2.3^k+1$ се дели на 5 като най-горе поставите първия етап.

Да се докаже, че за всяко естествено число n и за всяко реално число $x\geq -1$ е изпълнено $(1+x)^n\geqslant 1+n.x$ .

Това твърдение е известно като неравенство на Бернули.
Свържете етапите за доказване чрез математическа индукция.

Да се докаже, че за всяко естествено число n и за всяко реално число $x\geq -1$ е изпълнено $(1+x)^n\geqslant 1+n.x$ .

Кое е вярното доказателство за n=k+1?

Да се докаже, че сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на $(n-2)\pi$ . За кои числа твърдението има смисъл?

Довършете изречението, като запишете цифрата в празното поле: Твърдението има смисъл при $n\geqslant$ ...

Да се докаже, че сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на $(n-2)\pi$ .

Подредете отделните етапи при доказателство на твърдението, като най-отгоре поставите първия етап.

За кои естествени числа е вярно неравенството:

$\frac1\sqrt1+\frac1\sqrt2+\frac1\sqrt3+...\frac1\sqrtn> \sqrtn$
Упътване: Проверете верността при n=1,2,3,... и докажете твърдението си чрез метода на математическата индукция.
Неравенството е вярно при $n\geqslant$

Описание на теста

Ето го и третото онлайн упражнение върху метода на математическата индукция по математика за 11. клас. В него освен познатите от предишните две тестове задачи за доказване на формули за суми на числа, ще доказвате неравенства чрез принципа на математическата индукция и ще решавате задачи от доказване на делимост чрез метода на математическата индукция. Задачи от тези видове има и във видео урока "Математическа индукция. Решаване на задачи - част 2". След това шестиците по математика ще са ви гарантирани. Решавайте и се забавлявайте!

За да коментираш този тест, стани част от Уча.се!

Влез в профила си Регистрирай се

Коментари

Полезни (0)
Всички (2)