Упражнение: Математическа индукция. Решаване на задачи - част 1


Описание на упражнението

Решавайки задачите от второто онлайн упражнение върху математическа индукция по математика за 11. клас, ще затвърдите наученото и ще продължите да доказвате различни математически твърдения. Ако откриете, че имате пропуски в знанията, може да изгледате отново видео урока "Матечатическа индукция. Решаване на задачи - част 1", за да сте подготвени добре за училище и да получавате шестици. Решавайте и се забавлявайте!

За да разбереш как да направиш упражнението,
регистрирай се в Уча.се:


Въпроси: Общ брой точки: 100
5т. 1. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\fracn.(n+1).(n+2)3
  • Доказваме твърдението чрез метода на математическата индукция. Първо проверяваме верността за n=1.
  • Вярно ли е горното заключение?
 
5т. 2. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\fracn.(n+1).(n+2)3
  • При доказване на твърдението, след като сме проверили верността за n=1, втората стъпка е:
 
5т. 3. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\fracn.(n+1).(n+2)3
  • Като заместим с n=k+1 се получава равенството:
5т. 4. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено
  • 1^4+2^4+3^4+...+n^4=\fracn.(n+1).(2n+1).(3n^2+3n-1)30
  • При втори етап, когато доказваме чрез математическа индукция, допускаме верността за n=k и получаваме тъждеството:
5т. 5. В тъждеството 1^4+2^4+3^4+...+n^4=\fracn.(n+1).(2n+1).(3n^2+3n-1)30 заместваме с n=k+1.
  • Кои от изразите се получават след заместването и преобразуването на тъждеството след това?
6т. 6. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n.(n+1).(n+2)=\fracn.(n+1).(n+2).(n+3)4
  • Проверяваме верността при n=1 и се получава следното заместване:
6т. 7. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n.(n+1).(n+2)=\fracn.(n+1).(n+2).(n+3)4
  • Допускаме, че твърдението е вярно за n=k. Получава се равенството:
6т. 8. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n.(n+1).(n+2)=\fracn.(n+1).(n+2).(n+3)4
  • Трябва да докажем, че твърдението е вярно при n=k+1, т.е трябва да докажем тъждеството:
6т. 9. Подредете етапите от доказателството на тъждеството като най-горе поставите първото преобразувание.
  • 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(k+1).(k+2).(k+3)=\frac(k+1).(k+2).(k+3).(k+4)4
6т. 10. Подредете етапите, като най-горе поставите първия, за доказване на твърдението, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  •  2+7+14+...+(n^2+2n-1)=\fracn.(2n^2+9n+1)6.
6т. 11. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • \frac14.5+\frac15.6+\frac16.7+...+\frac1(n+3).(n+4)=\fracn4.(n+4).
  • За да проверим твърдението за n=k+1 трябва да докажем тъждеството :
  • \frac14.5+\frac15.6+\frac16.7+...+\frac1(k+4).(k+5)=\frack+14.(k+4)
6т. 12. Знаем, че \frac14.5+\frac15.6+\frac16.7+...+\frac1(k+3).(k+4)=\frack4.(k+4). Кои от изразите се получават при доказване на тъждеството
  • \frac14.5+\frac15.6+\frac16.7+...+\frac1(k+3).(k+4)+\frac1(k+4).(k+5)=\frack+14.(k+5)
11т. 13. Пеньо решава домашната си работа по математика:
  • "Дали числата f(n)=n^2+n+41 са прости за всяко естествено число n?"
  • В тетрадката на Пеньо е написано решение.
  • Погледнете картинката с решението и кажете каква грешка е допуснал Пеньо?
11т. 14. Следващата задача от домашната на Пеньо е:
  • Да се намери сборът Sn=\frac11.2+\frac12.3+\frac13.4+...+\frac1n.\left (n+1 \right ).
  • За да открие зависимостта, той пресметнал стойностите на няколко сбора. Помогнете на Пеньо да свърже всеки сбор с резултата.
11т. 15. Във въпрос 14 Пеньо решаваше следната задача:
  • Да се намери сборът Sn=\frac11.2+\frac12.3+\frac13.4+...+\frac1n.\left (n+1 \right )
  • А ти намери ли сбора?
  • Упътване: Изкажете заключение и го докажете чрез метода на математическата индукция.

За да направиш упражнението, регистрирай се в Уча.се:

Коментирай

За да коментираш това упражнение, стани част от образователен сайт №1 на България!