Упражнение: Математическа индукция. Решаване на задачи - част 2


Описание на упражнението

Ето го и третото онлайн упражнение върху метода на математическата индукция по математика за 11. клас. В него освен познатите от предишните две упражнения задачи за доказване на формули за суми на числа, ще доказвате неравенства чрез принципа на математическата индукция и ще решавате задачи от доказване на делимост чрез метода на математическата индукция. Задачи от тези видове има и във видео урока "Математическа индукция. Решаване на задачи - част 2". След това шестиците по математика ще са ви гарантирани. Решавайте и се забавлявайте!

За да разбереш как да направиш упражнението,
регистрирай се в Уча.се:


Въпроси: Общ брой точки: 100
5т. 1. Докажете, че за всяко естествено число n, n\geqslant 5 е изпълнено неравенството 2^n> 3n%2B16.
  • В кой от случаите базовата проверка е правилно направена?
5т. 2. Докажете, че за всяко естествено число n, n\geqslant 5 е изпълнено неравенството 2^n> 3n%2B16.
  • Допускаме, че неравенството е вярно за n=k, т.е. 2^k> 3k%2B16. Правилно ли е допускането?
5т. 3. Докажете, че за всяко естествено число n, n\geqslant 5 е изпълнено неравенството 2^n> 3n%2B16. Посочете вярното заместване при n=k+1.
5т. 4. Докажете, че за всяко естествено число n, n\geqslant 5 е изпълнено неравенството 2^n> 3n%2B16. Кое е вярното доказателство при n=k+1?
5т. 5. Да се докаже, че за всяко естествено n, 11^{n%2B2} %2B 12^{2n%2B1} се дели на 133. Вижте решението и отбележете верни ли са разсъжденията.
  • 1. При n = 1, 11^{1%2B2} %2B 12^{2%2B1} = 11^3 %2B 12^3 = 3059 = 133.23
  • 2. Нека при n = k; 11^{k%2B2} %2B 12^{2k%2B1 }= 133p (p e цяло).
  • 3. Тогава при n = k + 1 имаме: 11^{k%2B1%2B2} %2B 12^{2(k%2B1)%2B1} = 11^{k%2B3} %2B 12^212^{2k%2B1} = 11(11^{k%2B2} %2B 12^{2k%2B1}) %2B 133.12^{2k%2B1} = 11.133p %2B 133.12^{2k%2B1} = 133(11p %2B 12^{2k%2B1})
  • 4. Доказахме, че ако при n = k даденият израз се дели на 133, то налице е същото и при n = k + 1. Тъй като при n = 1 той се дели на 133, съгласно принципа на математическата индукция, той се дели на 133 за всяко естествено n.
6т. 6. Докажете, че за n>4 е изпълнено неравенството 2^n>n^2. Подредете етапите за доказване на твърдението, като най-отгоре поставите първи етап.
6т. 7. Иван трябва да реши задачата: "Докажете, че за n>4 е изпълнено неравенството 2^n>n^2."  Той прави следните пресмятания:
  • Трябва да докажем, че 2^{k%2B1}>2(k%2B1)^2, за което е достатъчно да докажем неравенството 2k^2\geq (k%2B1)^2.
  • 2k^2\geq (k%2B1)^2\Leftrightarrow k^2-2k-1\geq 0
  • Корените на квадратния тричлен са k_{1,2}=1\pm \sqrt{2} и при k\geq 1%2B \sqrt{2} е изпълнено k^2-2k-1\geq 0. Следователно 2^{k%2B1}>2(k%2B1)^2
  • Верни ли са разсъжденията на Иван?
 
6т. 8. Да се докаже, че 2^{n%2B2}.3^n %2B 5n - 4 се дели на 25. Решение:
  • Проверяваме за n=1, 2^{1%2B2}.3^1 %2B 5.1 - 4=8.3%2B5-4=25 се дели на 25.
  • Допускаме, че твърдението е вярно за n=k, т.е. 2^{k%2B2}.3^k %2B 5k - 4 се дели на 25.
  • Доказваме, че твърдението е вярно за n=k+1, т.е. трябва да е вярно, че 2^{k%2B1%2B2}.3^{k%2B1} %2B 5(k%2B1) - 4 се дели на 25.
  • Къде е грешката при така записаното решение?
6т. 9. За да докажем, че 2^{k%2B1%2B2}.3^{k%2B1} %2B 5(k%2B1) - 4  се дели на 25, трябва да го представим като събираеми, които се делят на 25.
  • Вярно ли е разсъждението?
6т. 10. Подредете етапите на доказване чрез математическа индукция на твърдението: 2^{k%2B2}.3^k%2B1 се дели на 5 като най-горе поставите първия етап.
6т. 11. Да се докаже, че за всяко естествено число n и за всяко реално число x\geq -1 е изпълнено (1%2Bx)^n\geqslant 1%2Bn.x.
  • Това твърдение е известно като неравенство на Бернули. 
  • Свържете етапите за доказване чрез математическа индукция.
6т. 12. Да се докаже, че за всяко естествено число n и за всяко реално число x\geq -1 е изпълнено (1%2Bx)^n\geqslant 1%2Bn.x.
  • Кое е вярното доказателство за n=k+1?
 
11т. 13. Да се докаже, че сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на (n-2)\pi. За кои числа твърдението има смисъл?
  • Довършете изречението, като запишете цифрата в празното поле: Твърдението има смисъл при n\geqslant ...
11т. 14. Да се докаже, че сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е равен на (n-2)\pi.
  • Подредете отделните етапи при доказателство на твърдението, като най-отгоре поставите първия етап.
11т. 15. За кои естествени числа е вярно неравенството:
  • \frac{1}{\sqrt{1}}%2B\frac{1}{\sqrt{2}}%2B\frac{1}{\sqrt{3}}%2B...\frac{1}{\sqrt{n}}> \sqrt{n}
  • Упътване: Проверете верността при n=1,2,3,... и докажете твърдението си чрез метода на математическата индукция.
  • Неравенството е вярно при n\geqslant

За да направиш упражнението, регистрирай се в Уча.се:

Коментирай

За да коментираш това упражнение, стани част от образователен сайт №1 на България!