Упражнение: Математическа индукция. Решаване на задачи - част 1


Описание на упражнението

Решавайки задачите от второто онлайн упражнение върху математическа индукция по математика за 11. клас, ще затвърдите наученото и ще продължите да доказвате различни математически твърдения. Ако откриете, че имате пропуски в знанията, може да изгледате отново видео урока "Матечатическа индукция. Решаване на задачи - част 1", за да сте подготвени добре за училище и да получавате шестици. Решавайте и се забавлявайте!

За да разбереш как да направиш упражнението,
регистрирай се в Уча.се:


Въпроси: Общ брой точки: 100
5т. 1. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2%2B2.3%2B3.4%2B...%2Bn.(n%2B1)=\frac{n.(n%2B1).(n%2B2)}{3}
  • Доказваме твърдението чрез метода на математическата индукция. Първо проверяваме верността за n=1.
  • Вярно ли е горното заключение?
 
5т. 2. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2%2B2.3%2B3.4%2B...%2Bn.(n%2B1)=\frac{n.(n%2B1).(n%2B2)}{3}
  • При доказване на твърдението, след като сме проверили верността за n=1, втората стъпка е:
 
5т. 3. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2%2B2.3%2B3.4%2B...%2Bn.(n%2B1)=\frac{n.(n%2B1).(n%2B2)}{3}
  • Като заместим с n=k+1 се получава равенството:
5т. 4. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено
  • 1^4%2B2^4%2B3^4%2B...%2Bn^4=\frac{n.(n%2B1).(2n%2B1).(3n^2%2B3n-1)}{30}
  • При втори етап, когато доказваме чрез математическа индукция, допускаме верността за n=k и получаваме тъждеството:
5т. 5. В тъждеството 1^4%2B2^4%2B3^4%2B...%2Bn^4=\frac{n.(n%2B1).(2n%2B1).(3n^2%2B3n-1)}{30} заместваме с n=k+1.
  • Кои от изразите се получават след заместването и преобразуването на тъждеството след това?
6т. 6. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2.3%2B2.3.4%2B3.4.5%2B...%2Bn.(n%2B1).(n%2B2)=\frac{n.(n%2B1).(n%2B2).(n%2B3)}{4}
  • Проверяваме верността при n=1 и се получава следното заместване:
6т. 7. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2.3%2B2.3.4%2B3.4.5%2B...%2Bn.(n%2B1).(n%2B2)=\frac{n.(n%2B1).(n%2B2).(n%2B3)}{4}
  • Допускаме, че твърдението е вярно за n=k. Получава се равенството:
6т. 8. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • 1.2.3%2B2.3.4%2B3.4.5%2B...%2Bn.(n%2B1).(n%2B2)=\frac{n.(n%2B1).(n%2B2).(n%2B3)}{4}
  • Трябва да докажем, че твърдението е вярно при n=k+1, т.е трябва да докажем тъждеството:
6т. 9. Подредете етапите от доказателството на тъждеството като най-горе поставите първото преобразувание.
  • 1.2.3%2B2.3.4%2B3.4.5%2B...%2B(k%2B1).(k%2B2).(k%2B3)=\frac{(k%2B1).(k%2B2).(k%2B3).(k%2B4)}{4}
6т. 10. Подредете етапите, като най-горе поставите първия, за доказване на твърдението, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  •  2%2B7%2B14%2B...%2B(n^2%2B2n-1)=\frac{n.(2n^2%2B9n%2B1)}{6}.
6т. 11. Да се докаже, че за всяко естествено число n е изпълнено:
  • \frac{1}{4.5}%2B\frac{1}{5.6}%2B\frac{1}{6.7}%2B...%2B\frac{1}{(n%2B3).(n%2B4)}=\frac{n}{4.(n%2B4)}.
  • За да проверим твърдението за n=k+1 трябва да докажем тъждеството :
  • \frac{1}{4.5}%2B\frac{1}{5.6}%2B\frac{1}{6.7}%2B...%2B\frac{1}{(k%2B4).(k%2B5)}=\frac{k%2B1}{4.(k%2B4)}
6т. 12. Знаем, че \frac{1}{4.5}%2B\frac{1}{5.6}%2B\frac{1}{6.7}%2B...%2B\frac{1}{(k%2B3).(k%2B4)}=\frac{k}{4.(k%2B4)}. Кои от изразите се получават при доказване на тъждеството
  • \frac{1}{4.5}%2B\frac{1}{5.6}%2B\frac{1}{6.7}%2B...%2B\frac{1}{(k%2B3).(k%2B4)}%2B\frac{1}{(k%2B4).(k%2B5)}=\frac{k%2B1}{4.(k%2B5)}
11т. 13. Пеньо решава домашната си работа по математика:
  • "Дали числата f(n)=n^2%2Bn%2B41 са прости за всяко естествено число n?"
  • В тетрадката на Пеньо е написано решение.
  • Погледнете картинката с решението и кажете каква грешка е допуснал Пеньо?
11т. 14. Следващата задача от домашната на Пеньо е:
  • Да се намери сборът S_{n}=\frac{1}{1.2}%2B\frac{1}{2.3}%2B\frac{1}{3.4}%2B...%2B\frac{1}{n.\left (n%2B1 \right )}.
  • За да открие зависимостта, той пресметнал стойностите на няколко сбора. Помогнете на Пеньо да свърже всеки сбор с резултата.
11т. 15. Във въпрос 14 Пеньо решаваше следната задача:
  • Да се намери сборът S_{n}=\frac{1}{1.2}%2B\frac{1}{2.3}%2B\frac{1}{3.4}%2B...%2B\frac{1}{n.\left (n%2B1 \right )}
  • А ти намери ли сбора?
  • Упътване: Изкажете заключение и го докажете чрез метода на математическата индукция.

За да направиш упражнението, регистрирай се в Уча.се:

Коментирай

За да коментираш това упражнение, стани част от образователен сайт №1 на България!