Упражнение: Математическа индукция


Описание на упражнението

В онлайн упражнението към видео урока "Математическа индукция" по математика за 11. клас ще имате възможност да се пробвате какво сте научили за математическата индукция: за какво се използва този метод, кои са етапите при доказване на твърдения. Ще се упражните да ги прилагате при решаване на задачи, а ако имате пропуски ще ги запълните и това ще ви помогне да изкарвате шестици в училище. Решавайте и се забавлявайте!

За да разбереш как да направиш упражнението,
регистрирай се в Уча.се:


Въпроси: Общ брой точки: 100
5т. 1. Ако сме сигурни, че Иван е скейтър, наблюдаваме сходни признаци на поведение у Пешо, Гошо, Краси, Наско и Митко от бандата, то можем да заключим, че всички от бандата са скейтъри.
  • Примерът в математиката се нарича:
 
5т. 2. Първият етап при доказване на равенството \frac{1}{1.3}%2B\frac{1}{3.5}%2B\frac{1}{5.7}%2B...%2B\frac{1}{\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n%2B1 \right )}=\frac{n}{2n%2B1}  чрез метода на математическата индукция е да проверим верността при n=2, т.е:
  • \frac{1}{1.3}%2B\frac{1}{3.5}=\frac{2}{2.2%2B1}
  • Вярно ли е предложеното решение?
5т. 3. Да се докаже, че за всяко естествено n е изпълнено равенството:
  • \frac{1}{1.3}%2B\frac{1}{3.5}%2B\frac{1}{5.7}%2B...%2B\frac{1}{\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n%2B1 \right )}=\frac{n}{2n%2B1}
  • Допускаме, че равенството е вярно при n=k. Кой от изразите се получава?
5т. 4. При решаване на задачата Да се докаже, че за всяко естествено n е изпълнено равенството \frac{1}{1.3}%2B\frac{1}{3.5}%2B\frac{1}{5.7}%2B...%2B\frac{1}{\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n%2B1 \right )}=\frac{n}{2n%2B1}  чрез математическа индукция, учителката предлага следния начин в етап 3:
  • За да проверим, че твърдението е вярно и за n=k%2B1, трябва да докажем тъждеството:
  • \frac{1}{1.3}%2B\frac{1}{3.5}%2B\frac{1}{5.7}%2B...%2B\frac{1}{\left ( 2k-1 \right ).\left ( 2k%2B1 \right )}%2B\frac{1}{\left ( 2k%2B1 \right ).\left ( 2k%2B3 \right )}=\frac{k%2B1}{2k%2B3}
  • Вярно ли е предложеното решение?
5т. 5. Да се докаже, че за всяко естествено n е изпълнено равенството:
  • \frac{1}{1.3}%2B\frac{1}{3.5}%2B\frac{1}{5.7}%2B...%2B\frac{1}{\left ( 2n-1 \right ).\left ( 2n%2B1 \right )}=\frac{n}{2n%2B1}.
  • Ако твърдението е вярно за n=k+1, то в края на проверката трябва да получим кое от равенствата?
 
6т. 6. Като успеем да докажем, че 1^3%2B2^3%2B3^3%2B...%2Bn^3=\left [ \frac{n\left ( n%2B1 \right )}{2} \right ]^2 е равно за к+1, то това означава, че и това, което сме допуснали за к е правилно. От това пък следва, че твърдението е вярно за всички естествени числа.
  • Вярно ли е горното твърдение?
6т. 7. Какво заместване трябва да извършим в първи етап, когато доказваме тъждеството 1^3%2B2^3%2B3^3%2B...%2Bn^3=\left [ \frac{n\left ( n%2B1 \right )}{2} \right ]^2чрез метода на математическата индукция?
6т. 8. Кой от изразите се получава при етапа за допускане в доказване на твърдението 1^3%2B2^3%2B3^3%2B...%2Bn^3=\left [ \frac{n\left ( n%2B1 \right )}{2} \right ]^2?
6т. 9. Подредете последователно редовете при доказване, че твърдението 1^3%2B2^3%2B3^3%2B...%2Bn^3=\left [ \frac{n\left ( n%2B1 \right )}{2} \right ]^2 е вярно за n=k+1, като най-горе поставите първия ред от доказателството.
6т. 10. Какви замествания се извършват при доказване с метода на математическата индукция на твърдението:
  • За всяко естествено число n е изпълнено \frac{1}{1.2.3}%2B\frac{1}{2.3.4}%2B\frac{1}{3.4.5}%2B...%2B\frac{1}{n.(n%2B1).(n%2B2)}=\frac{n(n%2B3)}{4(n%2B1)(n%2B2)}?
6т. 11. Подредете етапите при доказване на твърдението, че за всяко естествено число n е изпълнено 1.4%2B2.7%2B3.10%2B...%2Bn.(3n%2B1)=\frac{4}{n}.\left ( 1%2B2%2B3%2B...%2Bn \right )^2.
  • Първия етап поставете най-горе.
6т. 12. За всяко естествено число е вярно равенството:
  • \left ( 1%2B\frac{1}{1} \right )%2B\left ( 1%2B\frac{1}{2} \right )%2B\left ( 1%2B\frac{1}{3} \right )%2B...%2B\left ( 1%2B\frac{1}{n} \right )=n%2B2.
  • Вярно ли е твърдението?
11т. 13. Пеньо решава домашната си работа по математика. Трябва да провери дали за всяко естествено число n е изпълнено твърдението, че 2n+1 е четно число. В тетрадката на Пеньо е написано решение.
  • Погледнете картинката с решението и кажете каква грешка е допуснал Пеньо?
11т. 14. Равнината е разделена с n прави на области. Ще казваме, че две области са съседни, ако имат обща отсечка или права. Едни от областите са оцветени в червено, а други - в синьо. Да се докаже, че равнината може да се оцвети така, че всеки две съседни области да са оцветени различно.
  • Подредете елементите на доказателството чрез математическа индукция, като първи етап поставите най-горе.
11т. 15. На колко части се разделя равнината от n различни прави, прекарани през една и съща точка?
  • Упътване: Проверете твърдението за n=1,2,3,... . Изкажете предположение и го докажете чрез математическа индукция.

За да направиш упражнението, регистрирай се в Уча.се:

Коментирай

За да коментираш това упражнение, стани част от образователен сайт №1 на България!